Гармонійні коливання

1. Гармонійні коливання та їх характеристики

Коливальним називається процес багаторазового відхилення певної фізичної величини від її рівноважного стану й повернення до нього. Якщо це відбувається через однакові проміжки часу (тобто нескінченну кількість разів), коливання називаються періодичними, а ці проміжки часу – періодом коливання.

Коливання широко представлені у природі й у техніці. Незважаючи на їх різноманітну фізичну природу, всі вони мають деякі загальні закономірності й можуть бути зведені до суперпозиції найпростіших періодичних коливань, що називаються гармонійними
Поки ми обмежимося дослідженнями загальних закономірностей коливальних процесів і механічними коливними системами.
Для одержання гармонійного коливання розглянемо рівномірний рух по колу радіуса з центром у точці кінця радіус-вектора – точки (рис. 1), який відбувається нескінченно довго. Її стала кутова швидкість обертання дорівнює частці від поділу кута повороту вектора (щодо його початкового положення в нульовий момент часу вздовж осі введеної декартової системи координат) на час повороту : . Її називають також кутовою частотою обертання. Вона визначає період обороту й частоту обертання, яку традиційно позначають через (грецька буква "ню"):

, .

Очевидно, що проекція радіуса-вектора на вертикальну вісь при будь-якому значенні кута визначається виразом:

. (1)

Рис. 1. Прийом розвертання гармонійних коливань у часі

Відомі із тригонометрії коливання величини (1) вздовж вертикальної осі біля нульового рівноважного положення з розмахом від до з основним періодом по змінній (з періодом по змінній ) називаються гармонійними. Для зручності аналізу їх "розвертають" у часі, відкладаючи аргумент – кут повороту (або пропорційний йому час ) по горизонталі. При цьому коливання зображуються у прямокутній декартовій системі координат так званою синусоідою (див. рис. 1).
При описі гармонійних коливань уведені раніше для обертового руху величини , , , , (за винятком кута , усі вони є принципово позитивними) іменують вже трохи інакше: – період коливання, і – його частота й кругова частота, відповідно, і – фаза й амплітуда коливання. Очевидно, що фаза коливання визначається з точністю до доданку, кратному .
Узагальнюючи опис коливань (1), можна вважати, що в нульовий момент часу фаза коливання має якесь, у загальному випадку відмінне від нуля, значення – початкову фазу:

. (2)

Становить інтерес знайти швидкість і прискорення, тобто першу й другу похідні від величини (2), що виконує гармонійні коливання:

, (3)

(4)

Звідси можна зробити такі висновки:
1. Швидкість (3) і прискорення (4) величини , що виконує гармонійні коливання, є також гармонійними коливаннями з тією же частотою .
2. Амплітуди й фази цих трьох гармонійних коливань (2) – (4) різні. При цьому коливання швидкості й прискорення випереджають по фазі основне коливання величини , відповідно, на (на чверть періоду) і на (на півперіоду, тобто, перебуває у протифазі).
3. Величина , що виконує гармонійні коливання, пов'язана зі своїм прискоренням простим співвідношенням: , причому знак прискорення завжди протилежний знаку зсуву , або: